Çözümlü Sorular: Polinomlar Testi ve çözümleri

28 Şubat 2009 Cumartesi

Polinomlar Testi ve çözümleri - Matematik Çözümlü Sorular

Soru 01

P(x) = x¹⁷ + 2 x¹⁶ + 3 x¹² + 6 x⁸ - 4x³ + 5 x - 4 Polinomunun ( x³ + 1 ) ile bölünmesinden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM

x³ + 1 = 0 => x³ = - 1 x = -1 => P(x) polinomunda x = -1 koyarasak;

P(-1) = (-1)¹⁷ + 2 (-1)¹⁶ + 3 (-1)¹² + 6 (-1)⁸ - 4 (-1)³ + 5 (-1) - 4

P(-1) = -1 + 2 + 3 + 6 + 4 - 5 - 4 => P(-1) = 5 bulunur.

bbbbYANIT : C

Soru 02

P(x-3) = 3x² - 7x + 6 verildiğine göre, P(x) polinomunun (x+1) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM

x + 2 = 0    =>    x = - 2

P(x) = 3 (x+3)² - 7 (x+3) + 6       { (x-3)'ün tersini polinomda "x" yerine koyduk. }
P(-2) = 3 (-2+3)² - 7 (-2+3) + 6    =>    P(-2) = 3 - 7 + 6 = 2 bulunur.

bbbbYANIT : B

Soru 03

P(x) = 3 xⁿ + 2 x²ⁿ⁺¹ -3 xⁿ⁺² - a x² + 5 x - 4 Polinomunun ( x - 1 ) ile bölünmesinden kalan ( -2 ) olduğuna göre; a = ?

A)2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

ÇÖZÜM

x - 1 = 0 => x = 1 demek ki; P(1) = -2 miş. P(1)'i yaratalım,

P(1) = 3 . 1 + 2 . 1 - 3 . 1 - a . 1 + 5 . 1 - 4 = -2 => 3 + 2 - 3 - a + 5 - 4 = -2 => a = 5 bulunur.

bbbbYANIT : D

Soru 04

P(x) = x⁵ - 2 x⁴ + x³ + 3 x² + a x + 4 Polinomunun ( x - 2 ) ile bölünmesinden kalan kaçtır?

A) 2a + 22 B) 2a + 16 C) 2a + 18 D) 2a + 24 E) 2a + 20

ÇÖZÜM

x - 2 = 0 => x = 2 demek ki; P(2) = ? P(2)'i yaratalım,

P(2) = 32 - 32 + 8 + 12 + 2a + 4 => P(2) = 2a + 24 bulunur.

bbbbYANIT : D

Soru 05

P(x) = 2 x⁴ + a x³ + b x² + x + 6 Polinomunun çarpanlarından ikisi ( x - 2 ) ( x + 1 ) ise a = ?

A) -5 B) -4 C) -3 D) -2 E) -1

ÇÖZÜM

( x - 1 ) ve ( x - 2 ) , P(x)'in çarpanları ise, kalan "sıfır" dır. Bunları ayrı ayrı sıfıra eşitlersek;     x - 1 = 0    =>

x = 1    demek ki;    P(1) = 0     ve     x - 2 = 0    =>    x = 2       P(2) = 0 bulunur.

   P(1) ve    P(2) leri yaratalım.    =>

   2 . 16 + a . 8 + b . 4 + 2 + 6 = 0

   2 . 1 + a . (-1) + b . 1 - 1 + 6 = 0      yazılıp    =>    bu iki denklem çözülürse,     a = -1    bulunur. bbbbYANIT : E

Soru 06

P(x) = x³ + x² + 3 x + m Polinomunun bir çarpanı ( x + 2 ) ise m = ?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

ÇÖZÜM

Bir polinomun çarpanı verildiğinde,     "çarpan = 0"     yapılıp bulunan "x" değeri P(x) polinomunda yerine konulduğunda, ifade "sıfır" 'a eşit olur.

x + 2 = 0    =>    x = -2

P(-2) = (-2)³ + (-2)² + 3 (-2) + m = 0    =>    P(-2) = - 8 + 4 - 6 + m = 0    =>    m = 10    bulunur.

bbbbYANIT : C

Soru 07

Bir P(x) polinomu, ( x - 1 ) ile bölündüğünde (-1) kalanını ve ( x + 2 ) ile bölündüğünde (2) kalanını veriyor. Aynı P(x) polinomu ( x - 1 ) . ( x + 2 ) çarpımı ile bölündüğünde hangi kalanı verir?

A) -x B) x C) x + 1 D) -x + 1 E) x - 2

ÇÖZÜM
P(x) = ( x - 1 ) . Q(x) + ( -1 )    =>    P(1) = -1 dir.

P(x) = ( x + 2 ) . Q'(x) + ( 2 )    =>    P(1) = 2 dir.
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
P(x) = ( x - 1 ) ( x + 2 ) . Q''(x) + (Ax + B)    =>    olsun.

P(x)'de "x" yerine ( 1 ve -2 ) değerlerini koyarsak;

   A .1 + B = -1    ®     A + B = -1
A . (-2) + B = 2      ®     -2A + B = 2
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Bu iki denklemin ortak çözümü sonucu;     A = -1    ve    B = 0     bulunur.
kalan     Ax + B     idi. Sonuç : -x + 0    =>    x    bulunur.

bbbbYANIT : A

Soru 08

P(x) = 2 x⁴ + a x³ + b x² + x +6 Polinomu bir çarpanı ( x + 1 ) ile tam olarak bölündüğüne göre, a - b farkı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

ÇÖZÜM

Tam olarak bölünebiliyor demek; kalan SIFIR demektir. x + 1 = 0 => x = -1

P(-1) = 2 . 1 + a . (-1) + b . 1 - 1 + 6 = 0 => 2 - a + b + 5 = 0 => a - b = 7 => bulunur. bbbbYANIT : D

Soru 09

6 ( x + 2y )² + ( x + 2y ) - 15 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x + 6y + 5 B) 3x - 2y - 3 C) x + 2y + 5 D) 2x + 4y + 5 E) 2x + 4y + 3

ÇÖZÜM

6 ( x + 2y )² + ( x + 2y ) - 15

½ bbbbbbbbbbbbbbbbb½
2 (x + 2y )bbbbbbbbbbbb- 3
3 (x + 2y )bbbbbbbbbbbbb 5
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
10 ( x + 2y ) - 9 ( x + 2y ) = ( x + 2y ) { Ortadaki terimi verdi }
[ 2 . ( x + 2y ) - 3 ] . [ 3 . ( x + 2y ) + 3 ] yazılır. => [ 2x + 4y - 3 ] . [3x + 6y + 5 ] olur.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb ¾¾¾¾¾¾
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb Ç Ö Z Ü M

bbbbYANIT : A

Soru 10

x² (x+5) + 2x (x+5) + x + 5 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x - 5 B) x + 1 C) 2 x + 5 D) x - 1 E) x + 3

ÇÖZÜM

x² (x + 5 ) + 2x ( x + 5 ) + x + 5 'i önce ( x + 5 ) parantezine alalım.
( x + 5 ) ( x² + 2x + 1 ) = ( x + 5 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) sonuç olarak çarpanlarından biri ( x + 1 ) bulunur

bbbbYANIT : B

Soru 11